Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 1

1a
b
c

2.: In poolcoördinaten: . Aangezien en blijft alleen de radiële component over:
a
b
c

3a: ,

b: ,

c: ,

4a: We maken hier gebruik van de wet van Gauss:

Kies steeds een integratievolume dat de symmetrie van de dichtheid optimaal uitbuit.

. De ladingsdichtheid is symmetrisch in het vlak x=0. We verwachten daardoor dat

. Kies als integratievolume een balk met één hoekpunt in de oorsprong en breedte x, lengte l en hoogte h. De volume-integraal levert

Als we stellen

(dit is een arbitraire keuze), dan levert alleen de oppervlakte-integraal over x een bijdrage:

Hiermee vinden we

II.

. De ladingsdichtheid is cylindersymmetrisch om de z-as. We verwachten

. Kies nu als integratievolume een cirkelvormige schijf met hoogte h en straal R om de z-as. Met de wet van Gauss vinden we

Dit levert

III.

. De ladingsdichtheid is bolsymmetrisch om de oorsprong. We verwachten

. Kies nu als integratievolume een bol met straal r en middelpunt in de oorsprong. Met de wet van Gauss vinden we

Dit levert

b: We bepalen het magnetische veld uit de wet van Ampère:

I. De stroomdichtheid

is symmetrisch in het vlak x=0. We verwachten voor de magnetische veldsterkte:

. Gebruik daarom als integratie-oppervlak een rechthoek in het xy-vlak met één hoekpunt in de oorsprong, breedte x en lengte l. Uit de wet van Ampère vinden we dan

Dit levert

II.

. Deze stroomdichtheid is cylindersymmetrisch om de z-as. We verwachten

. Kies als integratie-oppervlak een cirkelschijf met straal R en normaal

. Uit de wet van Ampère:

Dit levert

5a

Gebruik maxwell in integrale vorm;

waarbij S het oppervlak is van het volume V. Aangezien het probleem bolsymmetrisch is, kunnen we stellen dat

. De bovenstaande vergelijking wordt dan

Dus

b

Hier is de methode precies het zelfde als boven met als enige verandering dat we nu een ladingsdichtheid

hebben. Dus

6a

Gebruik de wet van Ampère:

Vanwege de cylindersymmetrie verwachten we dat

, waarbij r ditmaal de afstand tot de as van de draad is. Kies als integratie-oppervlak een cirkelschijf met straal r en normaal

. Als r < R, is de flux door de schijf nul, dus is het magnetische veld nul. Als

, is de stroom door het oppervlak gelijk aan I. Dan is

b

De stroomdichtheid is evenredig met de straal:

is een onbekende stroomdichtheid per lengte-eenheid, die we kunnen bepalen uit

De stroom door een cirkelschijf met straal r< R is

Hiermee vinden we

Het magnetisch veld buiten de draad is identiek aan dat in 6a), aangezien de totale omvatte stroom identiek is.

7a

Wederom een Maxwell vergelijking in integrale vorm:

Aangezien we weten dat

, kunnen we deze stelling toepassen op een cilinder van straal

en lengte l:

Nemen we R=b dan valt de laatste term weg;

. Tevens kunnen we deze vergelijking naar R differentieren:

Dus

b

Identiek aan a). Neem de corresponderende maxwell vergelijking in integrale vorm

Dus