Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 2

1. De wet van ladingsbehoud in integrale vorm is:


met  een gesloten oppervlak dat V omvat.
We werken nu de oppervlakte-integraal om naar een integraal over het volume V met behulp van de stelling van Gauss:

zodat

Omdat dit moet gelden voor een willekeurig volume V, moet de integrand zelf nul zijn, zodat we uiteindelijk de wet van ladingsbehoud in lokale vorm hebben verkregen:

2. Gegeven is de (cilindersymmetrische) stroomdichtheidsverdeling binnen (r<a) en buiten (r>a) een bol:


Er hoopt zich nergens lading op () als geldt:


Eerst het geval r<a:

Nu voor r>a:



Gebruiken we dit, dan volgt na wat algebra:

en hiervoor zijn onder- en bovenlimiet duidelijk gelijk.

3. a) triviaal.

b) triviaal.
4. a) 

b) 0.
5. a) .

b) .


Definieer nu  zodanig dat . Verder is de lengte van  gegeven door . Dus het totaal levert

 
7. b) Door gebruik te maken van de Maxwell vergelijkingen in integrale vorm kunnen we deze som oplossen. Voor de ladingsverdeling nemen een we schilletje van straal R en dikte  tussen deze platen. Verder nemen we een identiek schilletje buiten de twee platen. Indien we de buitenranden met elkaar verbinden en ook de binnenranden, kunnen we de eerste Maxwell vergelijking gebruiken; De ladingsdichtheid per oppervlak wordt dan gegeven door:


of voor de beide oppervlakken geldt

De stroomdichtheid wordt bepaald door een ``raampje'' te maken langs de  richting wederom door een van de oppervlakken; Maxwel IV geeft dan