Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 4

1 Omdat , weten we dat de - lijnen gesloten zijn, en vanwege symmetrie concentrische cirkels om de as van de solenoide. Gebruiken we nu met een door het contour C opgespannen oppervlak, dan vinden we met : en dus

2a en

b Lijnen van constante zijn ellipsen, want . Hieronder zijn deze lijnen geschetst (voor |b|>|a|), alsmede het verloop van  A.

c Stel , met te bepalen en . Omdat we willen dat de lijnen van constante cirkels zijn, moet ten eerste gelden dat de vergelijking van een cirkel is; er moet dus gelden dat Natuurlijk moeten we nog wel hetzelfde -veld hebben, dus omdat nu worden en bepaald uit De enige niet-triviale oplossing is , zodat (Merk op dat de ijktransformatie van naar gegeven wordt door , met in dit geval ).

3 We moeten nagaan dat hier nog steeds geldt . Gebruiken we nu de eerder afgeleide relatie dan vinden we inderdaad

4a Zie Griffiths, blz. 209. Hieronder is de situatie geschetst. We berekenen het magneetveld op een afstand z van een stroomvoerende draad. De wet van Biot-Savart is: In de tekening wijst uit het blad en heeft grootte . Ook geldt dat , zodat Hiermee vinden we Hierin zijn respectievelijk de hoeken tussen de loodlijn uit P op de draad en de lijn uit P naar het het linker-, respectievelijk rechteruiteinde van de draad. b. Wanneer hebben we en , zodat in die limiet

5 De coëfficient van wederkerige inductie volgt uit De situatie is hieronder geschetst. We houden eerst punt P op kring vast, en integreren over kring . Gebruiken we dan is De integraal over is nu echter direct te doen en levert ! Hiermee is dus waarmee we nu M hebben uitgedrukt in a,b en d. Opmerking voor fijnproevers: de integraal is niet exact te berekenen, maar kan worden uitgedrukt in termen van een hypergeometrische functie: