Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 6

1 De golfvergelijking voor een scalair veld (druk, temperatuur, potentiaal etc.) is: Substitueren we nu als Ansatz de cilindersymmetrische functie , dan vinden we met dat () aan de differentiaalvergelijking voldoet. De algemene oplossing van deze Besselvergelijking is met resp. de nulde-orde Besselfunctie van de eerste resp. tweede soort, en en (complexe) constanten. Opmerking: omdat singulier is in x=0, kiest men in veel problemen (bijv. de met een wisselspanning bekrachtigde cilindervormige condensator) om zo een reguliere oplossing te hebben. In dit probleem moeten we wel meenemen als oplossing omdat we de Besselvergelijking voor R>0 bekijken.

2 Voor de potentiaal geldt: met hier als ladingsdichtheid: We nemen op de x-as (), zodat: waarbij we afspreken dat we het bovenste teken nemen als en het onderste teken als . Vanwege de -distributie is er alleen een bijdrage bij dus wanneer Gebruiken we verder dat , dan is waar we nog steeds vasthouden aan: Dit laatste werkt echter uit tot zodat we uiteindelijk voor de potentiaal vinden: Merk dus op dat in dit bijzondere geval, waarin de waarnemer zich op de lijn van eenparig rechtlijnige beweging van de lading bevindt, de schijnlading het retardatie-effect opheft.

3a Voor de electrostatische energie geldt: De lading bevindt zich op het boloppervlak (r=a) en daar geldt , dus (Ga zelf na dat je met de formule , en die voor het -veld van een geladen bolschil, dezelfde energie vindt.)

b Met de formule en die voor het -veld van een homogeen geladen bol met straal a: vinden we eenvoudig (Ga zelf na dat je met de formule , en die voor de potentialen binnen en buiten een homogeen geladen bol, dezelfde energie vindt.)

4 Zie college-aantekeningen. We gebruiken de voor een ideale plaatcondensator (plaatafstand a, plaatoppervlak S, lading op de platen , capaciteit C) geldende formules: en de electrostatische energie die gegeven wordt door: a) Constante lading: b) Constante spanning: In het tweede geval (constante V) moet de batterij ook arbeid leveren. Die bijdrage is precies (), dit verklaart het verschil tussen a) en b).