Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 7
1.
De situatie is hieronder weergegeven. De stroom I wordt aangevoerd
via de binnenmantel (straal a) en via de buitenmantel (straal
b) weer afgevoerd. T.g.v. de stroom is er tussen binnen- en buitenmantel
een magneetveld .
a
Er geldt natuurlijk ()
met R gemeten vanaf de as van de binnenmantel. Zo volgt voor
per lengte-eenheid:
Gebruiken we , dan volgt eenvoudig:
a1
Bij constante stroomsterkte ( en nog steeds per lengte-eenheid):
a2
Bij constante flux
schrijven we eerst
zodat
b
Met a2) vinden we voor de kracht per lengte-eenheid op de
buitenmantel:
en dus een (naar buiten gerichte) druk
Geheel analoog vinden we voor de kracht per lengte-eenheid op de binnenmantel:
en dus een (naar binnen gerichte) druk
De druk is dus gelijk aan de veld-energiedichtheid ter plaatse.
2a
De golfpijp is hieronder getekend. We berekenen de
stroomverdelingen in de wanden
(1 t/m 4), door op de aangegeven lussen de vierde
Maxwellvergelijking in integrale vorm toe te passen:
De velden zijn gegeven door:
Berekenen we eerst de ladingsverdelingen m.b.v.
, dan vinden we
Tenslotte de stroomverdelingen.
Omdat we in gedachten de breedte van een lus naar nul laten naderen zien
we, dat de -term uit de vierde
Maxwellvergelijking niet zal bijdragen.
(M.a.w: hoewel we hier een niet-statisch probleem hebben, mogen we toch de
wet van Ampère gebruiken).
Dit geeft dan de volgende resultaten:
b
en dus is het tijdsgemiddelde van
over de doorsnede:
(Het getransporteerde vermogen is P=ab.)
De tijdgemiddelde totale veld-energiedichtheid wordt gegeven door
waarbij we in de laatste stap de dispersierelatie hebben gebruikt.
We hebben nu de relatie
Is de groepsnelheid? Welnu:
dus hebben we aangetoond dat het energietransport met de groepsnelheid
plaatsvindt.
3a
We proberen als oplossingen
(a<R<b)
(Hiermee is aan de randvoorwaarden
en voldaan.)
Allereerst moet gelden dat , dus
Aan de eis is met de gekozen vorm
van B al voldaan.
Verder volgt:
.
)
per lengte-eenheid:
, dan volgt eenvoudig:
schrijven we eerst
, dan vinden we
-term uit de vierde
Maxwellvergelijking niet zal bijdragen.
over de doorsnede:
de groepsnelheid? Welnu:
en 
voldaan.)
, dus
is met de gekozen vorm
van B al voldaan.
