Beknopte uitwerking van de opgaven bij werkcollege 8

1a De Maxwell stress-tensor is (Griffiths, blz.326 e.v.): De kracht op ladingen binnen een volume V wordt hiermee gegeven door: met een oppervlak dat V omsluit. We gaan uit van onderstaande situatie, waar we integreren over het middelloodvlak (x=0). We sluiten het oppervlak met een oneindige half-bol, maar merken direct op dat de oppervlakte integraal daarover nul zal zijn, omdat de veldsterkten in het oneindige verdwijnen. Omdat het hier een statische ladingsverdeling betreft, is nul. Verder ziet men direct dat de kracht op lading 1 in de x-richting is, zodat voor de de kracht op lading 1 geldt: De stress-tensor is hier (): Omdat we over het middelloodvlak integreren geldt verder: zodat . Uiteindelijk vinden we dus dat: Om de integratie van uit te voeren gaan we over op cilindercoordinaten in het yz-vlak, zodat

b Voor het geval van twee tegengestelde ladingen geldt allereerst, dat Hiermee wordt : en uiteindelijk

2 Ten opzichte van de stilstaande waarnemer heeft de staaf lengte L, en maakt de staaf een hoek met de bewegingsrichting. Toepassen van de formules voor Lorentzcontractie geeft: waarin de rustlengte van de staaf is. Hiermee volgt dan Voor de ``rusthoek'' vinden we

3a is een viervektor. We transformeren nu van het stelsel waarin de draad in rust is (het lab), naar een stelsel waarin de electronen in rust zijn. Dit laatste stelsel heeft een snelheid t.o.v. het labstelsel. Omdat in het labstelsel (de draad is neutraal) en (A de draaddoorsnede, minteken t.g.v. definitie stroomsterkte), wordt de transformatie: Dus

c De doorsnede A van de draad is invariant ( op bewegingsrichting) , dus en .

4 De relativistische-bewegingsvergelijking is Omdat F constant is en , kunnen we direct integreren: zodat de snelheid gegeven wordt door Hiermee vinden we voor de baan (Merk op dat we dit kunnen schrijven als De baan is dus een tak van een hyperbool, en daarom wordt deze beweging in de literatuur hyperbolische beweging genoemd.)