Antwoord 19: Voor een lichtachtige vector geldt dat
. Omdat omder een Lorentz transformatie
niet verandert, wordt een lichtachtige vector onder een Lorentz
transformatie op een lichtachtige vector afgebeeld. Voor een tijdachtige vector
geldt
. Hieruit volgt dat
en dat
gebruikt kan worden als de snelheid in een Lorentz
transformatie,
. De Lorentz transformatie lezen we af
uit verg. (4.41), door (ct,x,y,z) te vervangen door (a0,a1,a2,a3). In
de vectornotatie van opgave 10 geldt dus
en
. Met
volgt nu eenvoudig dat
en
.Als check gaat men na dat inderdaad
. Voor een ruimteachtige
vector geldt
, hetgeen impliceert dat
. We willen nu de Lorentz transformatie vinden
waarvoor
. Kennelijk moet dus gelden
.
Een oplossing wordt gegeven door
. Deze
snelheid is inderdaad kleiner dan de lichtsnelheid, omdat
. Merk op dat in dit geval
niet uniek is; we kunnen er een
willekeurige snelheid, loodrecht op
, bij op tellen (zolang
). Dit hangt samen met het feit dat als we eenmaal
hebben, een Lorentz transformatie met een snelheid loodrecht op
, niets verandert aan
. We kunnen
vergelijken met een meetlat, en het onveranderd blijven
van
is equivalent met het feit dat een meetlat geen
contractie ondervindt loodrecht op de bewegingsrichting.