Antwoord 9: Wat hier interessant is, is dat er een menging van de versnellingscomponenten uit verschillende richtingen kan optreden. De afleiding is vrijwel identiek aan die van de twee vorige opgaven. We gaan nu uit van $\vec x(t)=(x(t),y(t),0)$, zodanig dat in $S^\prime$, dat t.o.v. van S beweegt met een snelheid u langs de x-as, $\vec x{\,}^\prime(t)=(\gamma(u) (x(t)-ut),y(t),0)$ en $t^\prime=\gamma(u)(t-ux(t)/c^2)$. Voor de transformatie van de snelheid volgt hieruit dat $\vec v{\,}^\prime(t)=(d\vec x{\,}^\prime(t) /dt)/(dt^\prime(t)/dt)=(\gamma(u)(v_x(t)-u),v_y(t),0)/[\gamma(u)(1-uv_x(t)/ c^2)]$. Tenslotte volgt hieruit weer de transformatie voor de versnelling door $\vec a{\,}^\prime=(d\vec v{\,}^\prime(t)/dt)/(dt^\prime(t)/dt)$. De berekening voor $a_x^\prime$ is identiek aan die van opgave 6,

$\frac{dv_x^\prime(t)}{dt}=$ $\frac{d(v_x(t)-u)/dt}{1-uv_x(t)/c^2}+(v_x(t)-u) \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{1-uv_x(t)/c^2}\right)=$ $\frac{a_x(t)}{ 1-uv_x(t)/c^2}+\frac{(v_x(t)-u)u(dv_x(t)/dt)/c^2}{(1-uv_x(t)/c^2)^2}=$$\frac{1-uv_x(t)/c^2+(v_x(t)-u)u/c^2}{(1-uv_x(t)/c^2)^2}a_x(t)=$$\frac{(1-u^2/c^2)}{(1-uv_x(t)/c^2)^2}a_x(t)$,

zodat met $a_x^\prime=[dv^\prime_x(t)/dt]/[\gamma(u)(1-uv_x(t)/c^2)]$ het gevraagde resultaat volgt. Bij de berekening van $a_y^\prime$ komt zowel ax als ay voor, omdat $v^\prime_y$ afhangt van zowel vx(t) als van vy(t).

$\frac{dv_y^\prime(t)}{dt}=\frac{dv_y(t)/dt}{\gamma(u)(1- uv_x(t)/c^2)}+\frac{v_y(t)}{\gamma(u)}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{1-uv_x(t)/c^2} \right)=$ $\frac{a_y(t)}{\gamma(u)(1-uv_x(t)/c^2)}+\frac{v_y(t)ua_x(t)/c^2}{ \gamma(u)(1-uv_x(t)/c^2)^2}.$

Met $a_y^\prime=[dv^\prime_y(t)/dt]/[ \gamma(u)(1-uv_x(t)/c^2)]$ volgt weer het gevraagde resultaat. Dat hieruit de resultaten uit opgave 7 en 8 zijn te herleiden is evident.