- 2.
-
- a.
- Gebruik hiervoor formule (4.41) uit de syllabus. Dit geeft
| ![\begin{displaymath}
v'=\frac{v-u}{1-uv/c^2}\end{displaymath}](img9.gif) |
(8) |
- b.
- De bewegende staaf heeft in S een lengte
, en is daar t.g.v de
Lorentz-FitzGerald contractie een factor
korter dan in het eigen
ruststelsel. Daar bedraagt de lengte derhalve
.In S' heeft de staaf met rustlengte
en snelheid v' een
lengte
(wederom Lorentz-FitzGerald), ofwel
| ![\begin{displaymath}
\ell'=\ell\frac{\sqrt{1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-{uv}}\right)^2}}
{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{displaymath}](img15.gif) |
(9) |
- c.
- We lossen eerst op
. Dit geeft
. Kwadrateren en oplossen geeft
.
We behandelen de twee gevallen (
) apart
| ![\begin{displaymath}
\begin{array}
{l}
+:\qquad v-u=v-u v^2/c^2\Rightarrow\Big\{
...
...ghtarrow\ \,u=\frac{2v}{1+v^2/c^2}:{\rm oplossing~2}\end{array}\end{displaymath}](img20.gif) |
(10) |
We vinden de volgende interpretaties. Oplossing 1 (u=0): De stelsels S en
S' vallen samen, zodat
. Oplossing 2 (u=2v/(1+v2/c2)): In
stelsel S' heeft de staaf nu een snelheid -v (relativistische optelling van
snelheden!), en dus dezelfde Lorentz-FitzGerald contractie als in S, m.a.w.
. Zorgvuldige analyse van
| ![\begin{displaymath}
1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-uv}\right)^2\gt 1-v^2/c^2\end{displaymath}](img24.gif) |
(11) |
leert dat
wanneer 0<u<2v/(1+v2/c2). In dit regime gaat de staaf
langzamer in S' dan in S en ondergaat deze derhalve een kleinere contractie.
Tenslotte
als -c<u<0 of 2v/(1+v2/c2)<u<c. Nu gaat de staaf in
S' sneller dan in S (naar rechts, resp. links) en wordt dus sterker
ingekrompen. Voor de minima en maxima: deze worden - afgezien van de randminima
in
(daar is
, de ultieme Lorentz-FitzGerald contractie) - gegeven door de
oplossingen van
. Zo krijgt men
| ![\begin{displaymath}
\frac{d}{du}{\sqrt{1-\left(\frac{c(v-u)}{c^2-{uv}}\right)^2}}=\...
...sqrt{1-\left(\frac{c(u-v)}{1-u v/c^2}
\right)^2}=0\Rightarrow u=v.\end{displaymath}](img30.gif) |
(12) |
Dit is een maximum,
| ![\begin{displaymath}
\ell'_{max}=\ell'(u=v)=\ell/\sqrt{1-v^2/c^2}.\end{displaymath}](img31.gif) |
(13) |
In deze situatie beweegt S' met de staaf mee, ofwel: S' is het eigen
ruststelsel van de staaf. Hier heeft de staaf geen lengte-contractie ondergaan
en is de lengte maximaal, de eigenlengte.