2. De lezing van de professor over de relativiteitstheorie
die Mr. Tompkins' droom veroorzaakte.
Dames en heren:
In een zeer primitief stadium van ontwikkeling vormde zich in de menselijke
geest duidelijk omschreven denkbeelden over ruimte en tijd die dienden als
raamwerk waarbinnen zich gebeurtenissen afspeelden. Deze denkbeelden zijn
zonder wezenlijke veranderingen van generatie op generatie doorgegeven en, met
de ontwikkeling van de exacte wetenschappen, verwerkt in de fundamenten van de
wiskundige beschrijving van het universum.
De grote geleerde Newton was misschien de eerste die een heldere formulering
gaf van de klassieke denkbeelden over ruimte en tijd toen hij in zijn
"Philosophiae naturalis principia mathematica" schreef:
'Absolute ruimte blijft, van zichzelf, onafhankelijk van enige externe
invloed,altijd gelijk en onbeweegbaar;'
en
'Absolute, ware en wiskundige tijd verloopt van zelf en van zichzelf
gelijkmatig onafhankelijk van enige externe invloed.'
Het geloof in de absolute juistheid van deze klassieke denkbeelden over ruimte
en tijd was zo sterk dat ze vaak door filosofen a priori werden aangenomen en
er was geen wetenschapper die er zelfs maar aan dacht ze in twijfel te
trekken.
Toch werd het aan het begin van de 20ste eeuw duidelijk dat een aantal
uitkomsten van zeer verfijnde natuurkundige experimenten tot tegenspraken
leidden als men ze interpreteerde volgens de klassieke opvattingen van ruimte
en tijd. Dit bracht een van de grootste natuurkundigen, Albert Einstein, op het
revolutionaire idee dat er, behalve op grond van traditie, eigenlijk geen reden
was om de klassieke denkbeelden van ruimte en tijd als absolute waarheden te
beschouwen en dat deze veranderd konden en moesten worden om in overeenstemming
te komen met onze nauwkeuriger waarnemingen.
We hoeven ons er eigenlijk niet over te verbazen dat deze klassieke
denkbeelden, gebaseerd op dagelijkse menselijke waarnemingen, te ruw en
onnauwkeurig bleken te zijn na met moderne, nauwkeurige methoden te zijn
gecontroleerd. Hun gebruik in het dagelijks leven en tijdens de eerste fasen
van de ontwikkeling van de natuurkunde was mogelijk omdat de afwijkingen
voldoende klein waren om te mogen worden verwaarloosd. Evenmin hoeven we ons er
over te verbazen dat, met de uitbreiding van het onderzoekterrein van de exacte
wetenschappen, we in gebieden belanden waar deze afwijkingen zo groot worden
dat de klassieke denkbeelden volledig onbruikbaar zijn.
Het belangrijkste experimentele resultaat dat tot fundamentele kritiek op de
klassieke denkbeelden leidde was de ontdekking dat de lichtsnelheid in
vacuüm de maximum fysische snelheid is. Deze belangrijke en onverwachte
conclusie danken we voornamelijk aan de Amerikaanse natuurkundige Michelson. Hij
probeerde aan het eind van de vorige eeuw de invloed van de beweging van de
aarde op de voortplantingssnelheid van licht te meten. Tot zijn grote verbazing
en die van de wetenschappelijke wereld vond hij geen enkele invloed en stelde
vast dat de voortplantingssnelheid van licht in vacu|m altijd dezelfde is
onafhankelijk van het systeem waarin deze is gemeten en van de beweging van de
bron die het uitzendt. Het is niet nodig om uit te leggen dat een dergelijk
resultaat hoogst opmerkelijk is en in tegenspraak met onze fundamentele
denkbeelden over beweging.
In werkelijkheid is de snelheid waarmee je tegen een voorwerp botst dat naar je
toe beweegt, gelijk aan de som van jouw snelheid en die van je tegemoetkomend
voorwerp. En, is de snelheid waarmee een voorwerp je treft waarvoor je
wegloopt, gelijk aan het verschil van de twee snelheden.
Beweeg je b.v. in een auto naar een geluidsbron toe dan is de geluidssnelheid
die je in de auto meet vermeerderd met de snelheid van de auto. Zo ook wordt
deze verminderd met de snelheid van de auto als die zich van de geluidsbron af
beweegt. We noemen dit het "theorema van het samenstellen van snelheden" en dit
is altijd als vanzelfsprekend aangenomen.
Toch hebben de meest nauwkeurige experimenten aangetoond dat in het geval van
licht, dit theorema niet langer geldt; de voortplantingssnelheid van licht in
vacu|m is altijd dezelfde en gelijk aan 300.000 km per seconde, onfhankelijk
van de beweging van de waarnemer.
'Ja,' zal men zeggen, 'maar is het niet mogelijk een superlichtsnelheid te
construeren door een aantal kleinere snelheden die realiseerbaar zijn, samen te
voegen?'
We kunnen ons b.v. een trein voorstellen die met een snelheid van driekwart de
lichtsnelheid voortraast en op het dak van die trein een zwerver die hier met
dezelfde snelheid overheen rent achtervolgt door iemand van de spoorwegpolitie.
Volgens het theorema van het samenstellen, zou de totale snelheid dan anderhalf
maal de lichtsnelheid zijn en zou de zwerver het licht van een seinlamp langs
de spoorlijn moeten inhalen. In werkelijkheid echter, omdat de constantheid van
de lichtsnelheid een experimenteel feit is, moet de resulterende snelheid in
ons geval lager zijn dan we verwachten - ze kan niet groter worden dan de
lichtsnelheid; en dus moeten we vaststellen dat, ook voor lagere snelheden, het
klassieke theorema van het samenstellen van snelheden fout is.
De wiskundige behandeling van dit probleem, die hier verder niet ter sprake
komt, leidt tot een vrij eenvoudige formule om de resulterende snelheid van
twee gecombineerde bewegingen te berekenen.
Als v1 en v2 de twee snelheden zijn die we
willen combineren, dan is het resultaat:
v =
(v1+v2)/(1+v1v2/c2)
..........................(1)
Het is duidelijk dat in het geval dat v1 en
v2 klein zijn vergeleken met de lichtsnelheid c, de
tweede term in de noemer verwaarloosbaar is in vergelijking met 1 en dat we
dan weer het klassieke theoram terug zien. Zijn v1 en
v2 echter niet klein, dan is het resultaat altijd iets
kleiner dan de rekenkundige som. Zo wordt in ons geval van de zwerver op
het dak van de trein waarin v1 en v2
beide 3c/4 zijn, de resulterende snelheid volgens (1) 24c/25,
dus nog steeds kleiner dan de lichtsnelheid.
In het speciale geval dat een van de twee snelheden gelijk is aan c, is
volgens (1) de resulterende snelheid ook c, onafhankelijk van de andere
snelheid. Dus, hoe we snelheden ook met elkaar combineren, de resulterende
snelheid is nooit groter dan c.
Bovenstaande formule is experimenteel bewezen.
Nu we het bestaan van een maximum snelheid hebben aangenomen, kunnen we onze
aanval op het klassieke denkbeeld van ruimte en tijd beginnen. We kijken eerst
naar het begrip gelijktijdigheid.
Wanneer je zegt, 'De explosie in de mijn bij Kaapstad vond op hetzelfde
tijdstip plaats als waarop het ontbijt werd geserveerd in je Londense flat,'
dan denk je dat je weet wat je zegt. Ik zal echter laten zien dat dit niet zo
is, en dat, strikt genomen, deze uitspraak geen exacte betekenis heeft.
Hoe stel je je voor te controleren dat twee gebeurtenissen op twee
verschillende plaatsen gelijktijdig plaatsvonden of niet ? Je zou kunnen zeggen
dat de klok op beide plaatsen dezelfde tijd aangaf. Hierbij moet echter eerst
de vraag beantwoord worden hoe je de twee van elkaar verwijderde klokken zo
instelt dat ze gelijktijdig dezelfde tijd aangeven. En hiermee zijn we weer
terug bij de oorspronkelijke vraag.
De onafhankelijkheid van de lichtsnelheid in vacu|m van de beweging van de bron
en van het systeem waarin ze wordt gemeten is een van de meest nauwkeurig
bepaalde experimentele feiten.
Vandaar dat de volgende methode om afstanden te bepalen en klokken op
verschillende plaatsen op gelijk te zetten, de meest rationele en zelfs de
enige redelijke methode is.
Station A zendt een lichtsignaal uit dat zodra het door station B is ontvangen
teruggezonden wordt naar A. De helft van de tijd gemeten in A tussen het zenden
en weer ontvangen van het lichtsignaal, vermenigvuldigd met de lichtsnelheid,
definieren we als de afstand tussen A en B.
We zeggen dat de klokken in A en B goed staan als op het moment dat het
signaal bij B aankomt de klok aldaar het gemiddelde aangeeft van de zend- en
ontvangtijd gemeten in A. Gebruiken we deze methode in het geval van twee
punten op een vast lichaam dan krijgen we het gewenste referentiesysteem en
kunnen we vragen over gelijktijdigheid van - of tijdsintervallen tussen twee
gebeurtenissen, beantwoorden.
Maar zullen waarnemers in andere systemen het met deze antwoorden eens zijn?
Laten we veronderstellen dat we twee referentiesystemen hebben opgezet op twee
vaste lichamen die zich ten opzichte van elkaar in tegenovergestelde richting
bewegen. Hoe vatten die twee elkaars uitspraken op? Er zijn twee waarnemers in
systeem A resp. A1, A2 en twee in B resp. B1 en B2 en precies tussen A1 en A2,
en tussen B1 en B2 bevindt zich een lichtbron. De afstand tussen A1 en A2 is
gelijk aan die tussen B1 en B2. De waarnemers A1 en A2 kunnen nu volgens de
boven beschreven methode hun klokken gelijk zetten in hun referentie systeem A
en de waarnemers B1 en B2 in hun systeem B. In elk van de systemen is
gelijktijdigheid vastgesteld.
Nu besluiten ze na te gaan of de klokken in de twee systemen gelijk staan. Stel
dat systeem B met een bepaalde snelheid naar rechts langs systeem A beweegt en
A naar links. Waarnemers A1 en B2 staan links en A2 en B1 rechts. In het midden
van de beide systemen stellen ze twee geladen geleiders zo op dat er een vonk
overspringt tussen de twee geleiders als de systemen elkaar passeren en op
hetzelfde moment het lichtsignaal in beide systemen wordt uitgezonden. Op het
moment dat het licht, dat zich met eindige snelheid voortplant, de waarnemers
bereikt is hun relatieve positie veranderd. Waarnemers A2 en B2 zijn naar hun
lichtbron toe bewogen en A1 en B1 er van af.
Als het licht A2 bereikt dan is B1 iets van de lichtbron af bewogen zodat het
nog even duurt voor het licht hem bereikt. Dus als B1 zijn horloge op nul zet
als het licht hem bereikt, zal A2 volhouden dat hij achter loopt.
Zo zal A1 volhouden dat het horloge van B2 voor loopt als B2 zijn horloge op
nul heeft gezet toen het licht hem bereikte. Aangezien beide waarnemers in A
volgens hun definitie van gelijktijdigheid van mening zijn dat zij de juiste
tijd hebben, zullen zij volhouden dat er een verschil bestaat met de horloges
van de waarnemers in B. Maar met dezelfde argumenten zullen de waarnemers in B
volhouden dat hun horloges de juiste tijd aangeven en dat er een verschil
bestaat met die in A.
Omdat beide systemen equivalent zijn, kan dit meningsverschil alleen opgelost
worden door te zeggen dat beide partijen vanuit hun standpunt gelijk hebben,
maar dat de vraag "wie er nu absoluut gelijk heeft" natuurkundig zinloos is.
Ik ben bang dat ik jullie erg vermoeid heb met deze lange redenering, maar als
je deze goed doorneemt, dan wordt het duidelijk dat zodra je onze methode van
ruimte-tijd meting overneemt,
het denkbeeld van absolute gelijktijdigheid verdwijnt
en dat
twee gebeurtenissen op verschillende plaatsen die als gelijktijdig worden
beschouwd in het ene referentiesysteem, door een zeker tijdsinterval zijn
gescheiden bezien vanuit een ander (t.o.v. het eerste bewegende) referentie
systeem.
Deze stelling lijkt op het eerste gezicht vreemd, maar is het ook vreemd als we
zeggen dat wanneer je dineert in een trein, je je soep en je dessert op
dezelfde plaats in de restauratiewagen eet, maar op ver van elkaar gelegen
punten van de spoorlijn? Deze uitspraak over het eten in de trein kan ook
worden geformuleerd als
twee gebeurtenissen die op verschillende tijdstippen plaats vinden op
dezelfde plaats in een referentiesysteem, worden gescheiden door een
ruimteinterval gezien vanuit een ander referentiesysteem.
Als je deze 'triviale' stelling vergelijkt met de 'paradoxale' voorgaande
stelling, zal je zien dat ze volstrekt symmetrisch zijn en dat de ene overgaat
in de nadere door de woorden tijd en ruimte te verwisselen.
Dit is de kern van Einstein's visie: terwijl men in de klassieke natuurkunde
tijd beschouwde als iets onafhankelijk van ruimte en beweging 'gelijkmatig
verlopend onafhankelijk van enige externe invloed.' (Newton), zijn in de
nieuwe natuurkunde ruimte en tijd nauw verbonden en stellen twee verschillende
doorsnedes voor van een homogeen 'ruimte-tijd continuum' waarin alle
waarneembare gebeurtenissen plaatsvinden. Het opsplitsen van dit
vier-dimensionale continuum in een drie dimensionale ruimte en een
een-dimensionale tijd is volledig willekeurig en afhankelijk van het systeem
van waaruit de waarnemingen plaatsvinden.
Twee gebeurtenissen, die in het ene systeem gescheiden zijn door een
ruimte-interval (afstand) l en een tijdsinterval t, zullen
in een ander systeem gescheiden zijn door een andere afstand l'
en een ander tijdsinterval t', zo, dat men in zekere zin kan
spreken van een transformatie van ruimte in tijd en vice versa. Het is ook
niet moeilijk in te zien waarom de transformatie van tijd in ruimte, zoals
in het voorbeeld van het eten in de trein, redelijk goed te volgen is,
terwijl de transformatie van ruimte in tijd, waaruit de relativiteit
van gelijktijdigheid volgt, vreemd overkomt. Het punt hierbij is
dat als we afstanden meten b.v. in centimeters, de bijbehorende tijdseenheid
niet de gebruikelijke seconde hoort te zijn, maar een 'rationele tijdseenheid'
behorende bij het tijdsinterval dat het licht nodig heeft om een afstand van
een centimeter af te leggen d.w.z. 0,000.000.000.03 seconde.
Vandaar dat in onze dagelijkse ervaringswereld transformaties van
ruimteintervallen in tijdsintervallen praktisch niet zijn waar te nemen. En dit
ondersteunt de klassieke visie dat tijd iets is dat absoluut onafhankelijk en
onveranderlijk is.
Kijken we echter naar bewegingen met zeer hoge snelheden, b.v. de beweging van
electronen uitgestoten door radioactieve stoffen of de beweging van electronen
in een atoom, waarbij de in een bepaald tijdsinterval afgelegde afstanden van
dezelfde grootte orde zijn als de in rationele eenheden uitgedrukte tijd, dan
komen we beide hierboven beschreven effecten tegen en wordt de
relativiteitstheorie van groot belang. Zelfs op terreinen van relatief lage
snelheden, zoals b.v de beweging van de planeten in ons zonnestelsel, kunnen we
relativistische effecten waarnemen dankzij de extreme nauwkeurigheid van de
astronomische metingen; dergelijke waarnemingen van relativistische effecten
vereisen metingen van veranderingen in planeetbewegingen in de orde van
fracties van boogseconden per jaar.
Zoals ik heb geprobeerd uit te leggen, leidt een kritsche beschouwing van de
begrippen ruimte en tijd tot de concusie dat ruimte-intervallen gedeeltelijk
zijn om te zetten in tijdsintervallen en omgekeerd. Dit betekent dat de
numerieke waarde van een bepaalde afstand of tijdsperiode zal verschillen
indien gemeten vanuit verschillende bewegende referentiesystemen.
Een betrekkelijk eenvoudige wiskundige analyse van dit probleem, waarop ik hier
niet in wil gaan, leidt tot een duidelijke formule voor de verandering van de
genoemde waarden. Ze geeft aan dat een object met lengte l, dat zich
t.o.v. de waarnemer verplaatst met een snelheid v, krimpt met een factor
afhankelijk van zijn snelheid en een waargenomen lengte heeft van:
l'=l*(1-
v2/c2)1/2
..........................(2)
Analoog hieraan, zal elk proces dat een tijd t duurt, vanuit het bewegende
systeem een langere tijd t' duren, met:
t'=t/(1-
v2/c2)1/2
..........................(3)
Dit zijn de beroemde 'ruimtecontractie' en 'tijdsdilatatie' in de
relativiteitstheorie.
Gewoonlijk, als v veel kleiner is dan c, zijn deze effecten erg
klein, maar voor voldoende grote snelheden, kunnen lengtes waargenomen vanuit
een bewegend systeem willekeurig klein worden gemaakt en tijdsintervallen
willekeurig lang.
Ik wil niet dat je vergeet dat deze beide effecten absoluut symmetrische
systemen zijn, en dat terwijl de passagiers in een snelrijdende trein zich
zullen afvragen waarom de mensen in de stilstaande trein zo slank zijn en zo
langzaam bewegen, de mensen in de stilstaande trein hetzelfde zullen denken
over de mensen in de snel rijdende trein.
Een ander belangrijk gevolg van het bestaan van de maximaal mogelijke snelheid
heeft betrekking op de massa van bewegende lichamen.
Volgens de algemene beginselen van de mechanica, bepaalt de massa van een
lichaam de inspanning nodig om het in beweging te krijgen of de bestaande
beweging te versnellen; hoe groter de massa hoe moeilijker het is om de
snelheid met een bepaalde hoeveelheid de laten toenemen.
Het feit dat geen enekel lichaam hoe dan ook de lichtsnelheid kan overschrijden
leidt ons direct tot de conclusie dat de weerstand tegen verdere versnelling of
anders gezegd, de massa, onbegrensd moet toenemen als de snelheid in de buurt
komt van de lichtsnelheid. Wiskundige analyse leidt tot een formule analoog aan
de formules (2) en (3). Als m0 de massa is bij hele kleine
snelheden, dan geldt voor de massa m bij een snelheid v:
m=m0/(1-
v2/c2)1/2
..........................(4)
en de weerstand tegen verdere versnelling nadert tot oneindig als v
nadert tot c.
Dit effect van de relativistische verandering van massa kan men eenvoudig
experimenteel waarnemen bij snel-bewegenede deeltjes. Zo is bijvoorbeeld de
massa van electronen uitgestoten door radioactieve stoffen met snelheden van
99% van de lichtsnelheid vele malen hoger dan de massa in rusttoestand en is de
massa van electronen in de z.g. kosmische stralen waarin ze vaak bewegen met
99.98% van de lichtsnelheid 1000 keer zo groot. Bij dergelijke snelheden is
de klassieke mechanica absoluut niet meer toe te passen en komen we in het
gebied van de pure relativiteitstheorie.