Keuzevak College Algemene Relativiteitstheorie

Prof. Pierre van Baal, IL 265 (Oort gebouw), tel. 071-5275502.

Instituut Lorentz voor Theoretische Natuurkunde

Ruimte-tijd voor het college: De Sitter zaal, voorjaar 2004, dinsdagmiddag 14h-17h.
Tentamen maandagmiddag 24 mei, 14h-17h, HL226 / donderdagmiddag 7 oktober, 14h-17h, HL207.

Please follow this link for updated information in English.

Einstein's Algemene Relativiteitstheorie omvat Newton's Gravitatietheorie voor zwakke velden, maar net als de Speciale Relativiteitstheorie geeft ze aanleiding tot een drastische herziening van ons begrip van ruimte en tijd. Naast de formulering van de theorie, zullen ook toepassingen die van belang zijn voor het huidige (astro-)fysisch onderzoek de revue passeren. Ter sprake komen het equivalentieprincipe, de veldvergelijkingen, de experimentele tests van de theorie aan de hand van de perheliumverschuiving van Mercurius, de afbuiging van het licht en ook de meer recente toetsing aan de hand van gravitatiestraling bij dubbelpulsars. Uiteraard gaan we ook de zwarte gaten en cosmologische consequenties van de theorie verkennen. Indien er voldoende tijd en belangstelling voor is, zal een van de laatste collegeuren aan de moderne ontwikkelingen, zoals de Hawkingstraling, worden besteed.

literatuur: Het college wordt gegeven aan de hand van het boek: "A short course in General Relativity" van J. Foster en J.D. Nightingale (Springer Verlag 1994 (2nd edition), gecorrigeerde derde druk 2001), ISBN 0-387-94295-5 (pbk) [meer informatie]. Deelnemers aan dit college worden verzocht dit boek aan te schaffen.

Aanbevolen als naslagwerk, maar niet verplicht, is het boek "Introducing Einstein's Relativity" van Ray d'Inverno (Oxford Univ. Press UK, 1992, herdruk met correcties 1995), ISBN 0-19-859-686-3 (pbk). Dit boek gaat vooral ook in op de meer recente ontwikkelingen. Daarnaast zijn er nog vele andere leerboeken, inclusief van de hand van Einstein zelf, "The meaning of relativity" (zijn semi-populaire verhandeling van 1916 is in een Engelse vertaling online beschibaar).

Als voorkennis wordt in principe alleen speciale relativiteitstheorie verwacht. Kennis over meetkunde (wiskunde college) is niet noodzakelijk maar wel zeer behulpzaam. Het college is in eerste instantie bedoeld als een keuzevak in het 4e/5e studiejaar.

En tenslotte: Ervaringen van een studente in dichtvorm!

Te behandelen stof op het college en opgaven
FN=Foster en Nightingale

27 jan: Algemene inleiding, nadruk op fysische aspecten.
FN Introduction, Appendix A, sect. A.1-5.
Equivalentie principe, geometrische formulering in termen van het bestaan van lokaal inertiaal stelsel. Afbuiging van licht (zie p.3 en 9-10 uit te delen materiaal, klassieke afleiding op basis van deeltjes karakter van licht en/of equivalentie principe, zie sect. 4.6-7 en problem 4.6). Kromming van de ruimte tijd in een centraal krachten veld (vrije val in een systeem met een eindige afmeting). Samenvatting van de uitganspunten van de speciale relativiteitstheorie (verkorte afleiding Lorentz transformatie, zie syllabus speciale relativiteitstheorie).
3 feb: Willekeurige coordinaten, vectoren en tensoren.
FN Hoofdstuk 1
Een voorbeeld van de 1e hoofdwet van Newton in een eenparige versneld coordinaten systeem. De interpretatie van het Christoffel symbool, deels in termen van schijnkrachten.
Dit hoofdstuk zelf aandachtig een of meerdere keren doorlezen.
Vooral alle Examples en Exercises lezen en narekenen.
10 feb: metrische eigenschappen van gekromde ruimtes.
FN Hoofdstuk 1 en 2.1 (Copies van college-aantekeningen en extra opgaven 1 t/m 9 worden uitgedeeld).
De rest van hoofdstuk 1 en een begin van hoofdstuk 2: afleiding van de geodeten vergelijking eerst via inbedding, dan via variatie rekening. De laatste is volledig intrinsiek gedefinieerd. Tijdens het college worden ex. 2.1.1-3 behandeld (Een deel van extra opgave 8 komt hier nogmaals op terug).
Als U hoofdstuk 1 goed bestudeerd hebt zijn de volgende opgaven van belang ter verdere verdieping van de stof:
Problems: 1.3, 1.4, 1.6, 1.9, 1.10
17 feb: parallel transport, covariante afgeleide.
FN paragraaf 2.2 tot 2.5
Cyclische coordinaten en behoudswetten voor de geodetenvergelijking. Voorbeeld van de Robertson-Walker metriek, example 2.1.2 (extra: voor positieve k bij vaste t geeft de substitutie k.r²=sin²(psi) een 3-dimensionale bol, dwz een homogene en isotrope ruimte met constante positieve kromming; voor negatieve k bij vaste t geeft de substitutie k.r²=-sinh²(psi) een hyperbolische ruimte, dwz een homogene en isotrope ruimte met constante negatieve kromming; voor k=0 bij vaste t hebben uiteraard een vlakke ruimte). Parallel transport van vectoren. De daarmee samenhangende definitie van een covariante afgeleide. Invoering van geodetische coordinaten.
Problems: 2.3 (zie ook extra opgave 5), 2.7 en extra opgaven 1, 2, 3
24 feb: relatie tussen de geodeten vergelijking en Newton's gravitatiewet.
FN paragraaf 2.5 t/m 2.9, Appendix A.6-8 (Copies van de rest van de college-aantekeningen [bij FN paragraaf 3.1, 3.4, 4.5 en 4.6], extra opgaven 10 t/m 13 en copies van een artikel over de dubbelpulsar worden uitgedeeld).
De relatie tussen geodeten en Newton's bewegingsvergelijkingen en i.h.b de relatie tussen g₀₀ en de gravitationele potentiaal V. Covariantiseren van vergelijkingen, geodeten postulaat, equivalentieprinicipe. Electromagnetisme in algemene coordinaten. Draaiend coordinatenstelsel en de relatie met gravitationele tijdsdilatatie en roodverschuiving (de links zijn naar de syllabus speciale relativiteitstheorie, de potentiaal daar gedefinieerd heeft een minteken t.o.v. de potentiaal in FN).
Problems: 2.4, 2.5 en extra opgave 4.
2 mrt: Energie-impuls en krommings tensoren.
FN paragraaf 3.1 t/m 3.3
Energie-impuls tensor, behoudswetten (zie p.21-22 uitgedeeld materiaal); definitie van de krommings tensor. Symmetrie eigenschappen worden iets anders afgeleid dan in het boek. Voor (3.14) gebruikmakende van problems 2.4 en 2.5. Voor (3.16) door de afleiding op pg. 104 stap voor stap te herhalen met een contravariante vector (zie exercise 3.2.1.a) en te vergelijken met (3.12), bewerkt door indices naar boven en naar beneden te halen. Voor (3.18) door (een paar keer) slim gebruik te maken van (3.14), (3.16) en (3.17). Paragraaf 3.3 over de relatie tussen de padafhandelijkheid van paralleltransport van een vector en de Riemannse krommingstensor, afgeleid aan de hand van problem 3.5. Bestudeer example 3.3.1 en extra opgave 6 om hier meer inzicht in te krijgen.
Problems: 3.1, 3.3, 3.4 + extra opgaven 5 en 6
9 mrt: Einstein vergelijking en de Schwarzschild oplossing.
FN paragraaf 3.4 t/m 3.7 en 4.1 (deels).
Formulering van de Einstein vergelijking. Geodetische deviatie (getijdekrachten) afgeleid door het verschil van twee geodeten te vergangen door een familie van geodeten, x(u,v), met u de affine parameter voor de geodenten en xi, in FN paragraaf 3.4 gedefinieerd door het verschil van de twee geodeet posities bij dezelfde u, vervangen door dx/dv. Uit de geodeten vergelijking van x(u,v) volgt dan na wat rekenwerk verg. FN.3.35 (zie p.23 uitgedeeld materiaal). De klassieke limiet van de Einsteinvergelijking reduceert tot de Poisson vergelijking. Buiten de massaverdeling kan dit deels gezien worden door gebruik te maken van de geodetische deviatie. De Schwarzschild metriek als een oplossing van de Einstein vergelijking. Extra: Beschrijving van de geometrie van de Schwarzschild oplossing door het ruimtelijke deel (dt=0) te zien als een 3-dimensionale ruimte ingebed in de 4-dimensionale euclidische ruimte, door de vergelijking (v(r)/4m)²=r/2m-1 (zie p.24 uitgedeeld materiaal). Problem 3.7 wordt tijdens het college behandeld.
Problems: extra opgaven 7 t/m 9
16 mrt: Eigenschappen van de Schwarzschild oplossing I.
FN paragraaf 4.1 t/m 4.4
Beschrijving van het radar-delay experiment (Shapiro) [zie ook dit artikel (pdf)] en de gravitationele roodverschuiving (Pound/Rebka) als tests van de theorie. Beschijving van de geodeten in de Schwarzschild metriek voor zowel testdeeltjes als fotonen, met als speciale gevallen vrije val (radieel) en cirkelbanen (opmerkelijk precies Newtons resultaat in termen van respectievelijk de eigentijd en de coordinaat-tijd). (Voor problem 4.6 zie p.9-10 uitgedeeld materiaal.) Voor radiele vrije val gebruiken we r=r₀(1+cos(eta))/2 om FN.4.29 te integreren, dit geeft de zg. cycloide (zie ook exercise 4.8.2, waar r=r₀sin²(psi) gebruikt wordt, maar met psi=eta/2 komt dit op hetzelfde neer). Dit is ook te gebruiken om verg. FN.4.30 expliciet te integreren. De eigentijd voor vrije val is eindig, en vanuit de vallende waarnemer gebeurt er niets speciaals bij het passeren van de horizon op r=2m, maar in de coordinaat-tijd ziet een waarnemer op grote afstand de vrije val tot "stilstand" komen (of "bevriezen") op de horizon van een zwart gat, en tegelijkertijd het signaal door de gravitationale roodverschuiving uitdoven (met een karateristieke tijd van 2m/c). Stabiele cirkelbanen zijn alleen mogelijk tot aan r=3m (dus tot de helft van de Schwarzschildstraal, dit is derhalve ook de kortste afstand tot waar een accretieschijf zich kan uitstrekken). Op r=3m wordt dit een lichtachtige geodeet (de omloopsnelheid wordt gelijk aan de lichtsnelheid als r dicht tot 3m nadert). Fotonen kunnen alleen op deze afstand in cirkelbanen voorkomen (in zekere zin omdat hun omloopsnelheid niet variabel kan zijn), maar deze baan is niet stabiel onder kleine verstoringen.
Problems: 4.2, 4.3, 4.7 en 4.8.
23 mrt: Eigenschappen van de Schwarzschild oplossing II.
FN paragraaf 4.5 t/m 4.9
Afbuiging van het licht, eerst beperkt tot de kromming van het ruimtelijke deel (zie p.24-25 uigedeeld materiaal). Dat geeft hetzelfde resultaat als de bijdrage t.g.v. de Newtonse bewegingsvergelijkingen, met het foton als een klassiek deeltje (zie p.3 en 9-10 uitgedeeld materiaal). Samen geeft dit het resultaat van Einstein, als test van zijn theorie, nu afgeleid met de exacte relativistische bewegingsvergelijkingen, FN paragraaf 4.6. Planeetbanen (ook als voorbereiding voor de dubbelpulsar) en perihelium verschuiving. Het geodetische effect -- precessie van een giroscoop. De lang verwachte lancering van de Gravity Probe satelliet vond plaats op 20 april 2004! Zwarte gaten: Eddington-Finkelstein en Kruskal coordinaten, die zich wat netter gedragen in de buurt van de horizon.
Alternatieve afleiding van de periheliumverschuiving door net als bij de afbuiging van het licht u=u₀+w in te voeren, waarbij u₀ gegeven is door verg. FN.4.42. Invullen in verg. FN.4.43 (waarbij de uitdrukking voor E aangepast moet worden volgens
E=(GM/h²)² [e²-1-2(GM/hc)²(1+3e²)],
hetgeen neerkomt op een herdefinitie van e), of door deze vergelijking eerst te differentieren met betrekking tot de hoek, geeft
w=[3(GM)³/(c²h⁴)](1+e²/2+e phi sin(phi)-e²cos(2 phi)/6).
We vinden dan in eerste orde in de storing:
u=GMh^-2[1+e cos(q phi)+3(GM/ch)²(1+e ²/2-e²cos(2 phi)/6)],
waarbij q=1-3(GM/ch)², zodat de periheliumverschuiving per omloop gegeven wordt door -2pi(1-1/q)=6pi(GM/ch)². Door nu gebruik te maken van u₁+u₂=2GM/h² verkrijgt men het resultaat uit verg. FN.4.45 (zie p.26 uigedeeld materiaal).
Voor de liefhebbers: De periheliumverschuiving is exact(!) te brekenen.
Problems: 4.4, 4.5 + extra opgave 10.
30 mrt: Gravitatiestraling.
FN hoofdstuk 5, tot paragraaf 5.3, verg. FN.5.41
Een graviton (het analogon van wat het foton is voor de electromagnetische straling) heeft spin 2, maar (net als het foton) slechts twee polarisatie toestanden. Dit hangt samen met de invariantie onder algemene coordinaten transformatie enerzijds (ijktransformaties als bij het electromagnetisme), en het feit dat een graviton geen ruststelsel heeft (als het foton beweegt het met de lichtsnelheid, dus langs lichtachtige geodeten). Detectie gaat via resonante detectors of laser interferometers. Hier kun je alles lezen over MiniGRAIL, de bolvormige detector voor gravitatiestraling hier in Leiden. Bij de laser interferometers is het essentieel op te merken dat in de TT-ijk alleen de ruimtelijke componenten van de metriek (transversaal aan de gravitatiegolf) veranderen, en er dus GEEN gravitationele roodverschuiving optreedt die het faseverschil door de verplaatsing van de spiegels in de interferometer armen te niet zou kunnen doen. Voor details, zie een recente review van Alberto Lobo (ihb chapter 4).
Problems: 5.1, 5.2, 5.3 en 5.4.
In hoofdstuk 5 van FN (oudere druk) staan een paar storende drukfouten:
Pg. 167, op de 4e regel onder verg. FN.5.29 en de 2e regel van onderen wordt de d'Alembertiaan geschreven als 2², dat moet natuurlijk als in verg. FN.5.17. Dezelfde correctie geldt voor verg. FN.A.50-51 en de voetnoot op pg.208.
Pg. 168, een i voor de circulaire polarisatie van een lichtgolf (7e regel onder verg. FN.5.30) is weggevallen.
Pg. 169, Tabel 5.1, de horizontale component moet uiteraard de x-richting weergeven, i.p.v. de z-richting, zoals nu staat aangegeven bij het assenstelsel.
6 apr: De dubbelpulsar.
FN rest paragraaf 5.3 en extra materiaal uitgedeeld op het college van 24 feb.
Het analyseren van de dubbelpulsar (binary pulsar) wordt behandeld op basis van het artikel van J. Weisberg e.a. uit Scientific American van oktober 1981 (zelf aandachtig doorlezen), waarbij opgaven 11 en 12 stap voor stap de details invullen om te laten zien dat het energieverlies van de dubbelpulsar, af te leiden uit de veranderende baanelementen, geheel verklaard kan worden door het, in de vorm van gravitatiestraling, uitgestraalde vermogen. Voor deze test van de algemene relativiteitstheorie hebben Hulse en Taylor in 1993 de Nobelprijs gekregen. [Noot: Het woord dubbelpulsar is ietwat misleidend, het is een dubbelster waarbij iedere ster een neutronenster is. Een daarvan manifesteert zich als pulsar. Heel recent (pdf) is een dubbelpulsar gevonden (pdf) waarbij beide neutronensterren pulsars zijn. Met een korte omloopsperiode van 2.4 uur geeft dit een prachtige gelegenheid om de algemene relativiteitstheorie nog nauwkeuriger te testen! ] Opgave 11 is deels bedoeld ter voorbereiding op opgave 12, en deels om verg. FN.5.44 af te leiden, die het uitgestraalde vermogen van een roterende halter geeft.
Opgave 11 en 12 worden op het college uitvoerig besproken, waarbij vooral bij opgave 11 een aantal details worden uitgewerkt.
Extra opgaven 11 en 12
13 apr: Cosmologie.
FN hoofdstuk 6
De veldvergelijkingen worden gebruikt om de schaal parameter R(t) van het Robertson-Walker lijnelement vast te leggen. Het bekende Friedmann model wordt verkregen door de druk p te verwaarlozen. Hiermee volgt de welbekende Big Bang en de Hubble-expansie. De cosmologische constante is een extra vrije parameter die aan de Einstein vergelijkingen toegevoegd kan worden. Hiermee krijgt men het zogenaamde De Sitter model (zie extra opgave 13).
Problems: 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6 and 6.7 + extra opgave 13.
20 apr: Moderne ontwikkelingen (laatste college)
Presentatie door Arlette de Waard over MiniGRAIL.
Een causerie over de moderne ontwikkelingen. Zoals roterende zwarte gaten (de Kerr oplossing): waar je door een ring in een andere universum kan komen en daarin terug kan reizen in de tijd, maar het niet kan navertellen aan de achterblijvers. Thermodynamica van zwarte gaten: zwarte gaten kunnen niet opsplitsen en hun horizon heeft een oppervlak dat altijd moet toenemen (de entropie van een zwart gat). Hawking straling: Klassiek kan er niets uit een zwart gat ontsnappen, maar door quantum effecten zendt een zwart gat thermische straling uit (voor astrofysche zwarte gaten is de temperatuur te klein om meetbaar te zijn). We laten ook kort zien hoe gravitatie in 5 dimensies (de extra dimensie een kleine cirkel) ons standaard gravitatie in 4 dimensies, electromagnetisme en een scalarair veld geeft (dit heet Kaluza-Klein compactificatie).
Een aardig boek dat veel van deze dingen op een luchtige doch wetenschappelijk verwantwoorde wijze presenteert is van de hand van J.-P. Luminet, ``Black Holes'', Cambridge University Press, 1995 - vertaald uit het Frans, ``Les Trois Noirs'', Belfond, Paris, 1987.
Tentamenregeling
Onderdeel van en voorwaarde tot deelnemen aan het (her)tentamen is het inleveren (uiterlijk twee weken voor het (her)tentamen) van huiswerkopgaven (extra opgaven 9 t/m 13); telt voor een kwart van het eindcijfer. Het is toegestaan tijdens het (her)tentamen boek (FN) en aantekeningen in te zien.
Resultaten: najaar 1999, voorjaar 2002 en voorjaar 2004.

Extra opgaven 1 t/m 13 zijn beschikbaar in PostScript (240kb) of in PDF (218kb) formaat. Ze worden op het college uitgedeeld. De stof die bestudeerd moet zijn om de opgaven te kunnen maken is: Voor opgaven 1 t/m 3, tot paragraaf FN.2.4. Voor opgaven 4 t/m 7, tot paragraaf FN.3.5. Voor opgaven 6g, 6h, 8 en 9 tot eind hoofdstuk FN.3. Voor opgave 10, hoofdstuk FN.4. Voor opgave 11 en 12, hoofdstuk FN.5 en tenslotte, voor opgave 13, hoofdstuk FN.6.

Laatste veranderingen: 24 augustus 2004. Deze webpagina bestaat sinds augustus 1999.